Harmonisk Navigasjon

På denne sida vil vi gå gjennom korleis ein ved å navigere i den harmoniske serien (eller overtonerekkja) og den subharmoniske serien (eller undertonerekkja) kan definere alle slags musikalske intervall.

figur 1: dei mest jordnære tonene fra det harmoniske og subharmoniske spekteret utifrå tonen C. Viss den harmoniske serien er ein frekvens ganga med heile tall så er den subharmoniske serien ein frekvens delt på heile tall.

(...) kvifor ta fatt på folkemusikken og gjera den skulemessig, løyse upp og draga fram system?

- Den tanke som her er utgangspunkt er botna i det faktiske tilhøve at no gjeld snart sagt berre systematisk musikkupplæring, og denne gjeng utanum desse brysame folkemusikklover. 

Eivind Groven i 'Naturskalen' 1927

Som vi veit er folkemusikken gehørsbasert musikk som har vorte forma av intuisjon og musikalitet gjennom uminnelege tider og den har operert utanfor strenge teoriar. Men i våre dagar er også folkemusikken institusjonalisert og sjølv om Groven etterlyste det for 100 år sidan så har ikkje noko musikkteori med botn i folkemusikken slege rot.

Vi vil med denne sida gjera eit forsøk på å jobbe vidare med Groven sin idé om å nytte reinstemmingsteorien som eit verktøy både for å belyse tonalitetar teoretisk og til å praktisk øve seg opp til å kjenne att toner fra folkemusikken.

Ved sidan av at intervalla frå reinstemmingsteorien i stor grad samsvarar med tonalieten i arkivopptaka (sjølvsagt med mindre "avvik" - som ein alltid vil få ved å samanlikne menneskje med datamaskinar) syns vi det er viktig å kunne definere heilt konkrete intervall. Slik lagar vi oss eit felles språk rundt tonalitet som er handfast, intuitivt, og ganske enkelt å øve opp. Med det språket som utgangspunkt gjev vi oss sjølve litt større mogelegheit til å treffe dei tonane vi vil.

figur 2: Tona 5/4 er ei tone som står i et 4 : 5 (4 til 5) forhold med utgangspunktet (eller grunntona). Utgangspunktet kallar vi for 1/1.

No, til teorien. Reinstemmingsteorien (engelsk: Just Intonation) handlar om å definere musikalske intervall som heiltalsbrøkar i førehald til ei gitt grunntone. Med denne teorien byggjer ein intervall basert på dei ulike innbyrdes avstandane i den harmoniske serien (overtonerekkja).

Lat oss seie at vi vil spele ein stor ters. Om vi går attende til figur 1 og ser på deltone 1-16 så ser vi at denne tona kjem som 5. deltone i den harmoniske serien, og frå den fyrste deltona står den i førehaldet 1 : 5.

1 : 5 vil seie 2 oktavar + stor ters (eller oktav+kvint+kvart+ stor ters). Men vi vil heller ha tersen i samme oktav som grunntona. Det riktige intervallet for ein stor ters utan å hoppe fleire oktavar opp er 4 : 5. Og da skjønar vi: intervallet er altså avstanden mellom teljaren (som her er 4. deltone, ein oktav) og nemnaren (5. deltone, ein stor ters). Vi kan også sjå det for oss ved å tenkje at ein bevegar seg 5 steg opp i det harmoniske spekteret (som sagt, 2 oktaver + ters) og deretter 4 steg ned det subharmoniske spekteret (2 oktaver nedover). (figur 3)

figur 3: 4-talet drar det altså ned 2 oktaver, mens 5-talet sender det opp 2 oktaver + ters. Det vi sit igjen med blir ters, det som ofte kalles rein (stor) ters.

Fleire døme: 8/5

figur 4: ein beveger seg 8 steg opp i det harmoniske spekteret (3 oktavar opp)

figur 5: - og deretter 5 steg ned det subharmoniske spekteret (2 oktavar + ters ned)

Denne prosedyren gjev oss ein (rein) liten sekst opp fra utgangspunktet (1/1).

Den same framgangsmåten kan vi nytte til å finne tona 5/3: 5 steg opp (2 oktavar + ters) og 3 steg ned (oktav + kvint) ned. (figur 6)

figur 6: Dette blir ein (rein) stor sekst.

Eller 4/3: 

figur 7: 2 oktavar opp og oktav + kvint ned. Ein kvart der, altså.

Tonene vi har sett på til no høyrer til innanfor reinstemming med primtallsgrense 5 (eller 5-limit just intonation). Det kalles primatalsgrense 5 fordi vi ikkje nyttar primtal høgare enn 5 i utrekninga. Primtal er tal som ikkje er deleleg med andre tal enn seg sjøl og 1. Det vil seie at vi har navigert i dette systemet ved hjelp av oktav, kvint og ters. Utifrå primtalsgrense 5 kan vi til dømes konstruere:

figur 8: Ein durskala

figur 9: Ein mollskala

Dette er grunnleggjande toner og skalaer innanfor reinstemming. Dei kling godt saman og er mykje brukt. Grunnen til at dei kling godt saman er på grunn av korleis lydbølgjene (hugs, lyd er bølgjer) treffer kvarandre, men for å gå vidare inn på det lyt vi tala om akustikk, og det er for komplisert for denne innføringa.

Men reinstemming byr på meir og namnet "reinstemming" kan bedra, for reint betyr ikkje nødvendigvis "konsonerande". Dur- og mollskalaer med primtallsgrense 5 er kanskje noko mange vil oppfatte som "reine og harmoniske", mens dei såkalla nøytrale tonene ikkje er det.

Saka er at reinstemminga innheld alle desse tonane. Når ein aukar primtallsgrensa så opnar ein opp for finare inndelingar og ein kan finne mange toner som ofte refereres til som nøytrale/svevande/blåtoner/kvarttoner. Vi nyttar ikkje desse begrepa på denne sida sidan føremålet er å definere konkrete avstandar. Kvarttone er forsåvidt ein definert avstand, men i teorien kan det berre bety tonar som refererer til ein 24-toners likeinndeling av oktaven (å dele liketempererte heiltoner i fire).

Når det er sagt, enkelte tonar med primtallsgrense 11 (som 11/9, som vi kallar den nøytrale tersen, 11/6, som vi kallar den nøytrale septimen og 11/8, den mykje nytta halvhøge kvarten som er lett tilgjengeleg på munnharpe) er i praksis så nær som mindre enn 2 cent ifrå liketempererte kvarttoner - så tilnærma kvarttoner er definitivt i bruk her.

Lat oss sjå på fleire eksempel, nettopp fra primtallsgrense 11:

figur 10: For å finne tona 11/6: Fra referansetona (1/1) gå 11 toner opp i det harmoniske spekteret (3 oktaver + naturkvart) -

figur 11: - og deretter 6 toner ned det subharmoniske (2 oktavar + kvint).

Dette er altså for å finne tona 11/6, den nøytrale septimen. Vi finn den ein kvint under (og i omvending; ein kvart over) naturkvarten (11/8 = 11/4).

Kva er forskjell på denne septimen og dei to septimene som høyrar til ei grunntone på eit piano? Det fyrste er at den ligg midt mellom dei to. Det er fordi at det liketempererte systemet tek utgangspunkt i at ein skal ha like intervall mellom 12 toner, for å kunne spele likt i 12 ulike toneartar.

Reinstemming skil seg frå det liketempererte systemet i at det er utemperert og ved at det føreheld seg til ei spesifikk grunntone (om gangen). Dette gjev meining i det aller meste av tonal folkemusikk frå heile verda, sidan ein gjerne held seg til ei grunntone, og om ein modulerar så er det som oftast til ein nærliggjande toneart, til dømes ein kvint opp eller ned. Når ein då modulerar så kan ein nytte andre toner som passer inn i den nye tonearten, men som vi også finn att som brøkar i førehald til den opprinnelege tonearten.

Eksempelet over med 11/6 som nøytral septim til ei grunntone er den samme tona som ein nøytral ters til kvinttonearten, men då heiter den 11/9.

Veldig mange av tonene som folkemusikarane har kome fram til gjennom sin musikalske intuisjon og sitt gehør framstår som gunstige tal i dette systemet (i motsetning til de liketempererte tonene som blir særs kompliserte forhold) og sjøl om vi på ingen måte påstår at tonene i folkemusikken har sitt opphav i reinstemmingssystemet så kan vi likevel problemfritt seie at systemet fungerer godt for betre å kunne identifisera og gjenkjenne, studere og gjenskapa dei mange nyansene ein finn idenne musikken.

Eg tror etter dette at det vil vera klart at desse melodiane vil misse den fine domen og rikdommen om ein skulle tvinga dei inn i det vanlege heil- og halvtonesystem. Det reinstemte orgelet vil vera ei god hjelp til å halde tonekjensla i pakt med det autentiske, og det kan vel henda at dette tonestoffet på denne måten kan komma i bruk i skapanda tonekunst i framtii.

Eivind Groven i radioprogrammet 'demonstrasjon av det reinstemte orglet' 1965